复杂科学是一个跨学科的畛域，它交融了物理学、生物学、谋划机科学、经济学和社会学等多个学科的表面和方法MK体育官网，旨在结实复杂系统的行动和动态。而"限制法例（Scaling Laws）"是复杂科学中一个伏击的见解，旨在形貌不同系统和闲散怎样跟着限制变化而变化的限定。这些法例在天然界、工程学、生物学、城市发展、经济等多个畛域都有等闲的应用。

2024 年 11 月 15 日，北京师范大学系统科学学院训诲张江本分在西塘为咱们带来了一堂对于限制法例的课程，以下是本次课程节选。

‍限制缩放法例

今天咱们会看到有大宗的数学定量公式不错去形貌这个复杂全国背后所蕴含的融合限定，这些限定即是所谓的限制法例。恰是有这些限定的存在，复杂科学才得以成立。

限制表面的提议者 Geoffrey West，早年是一个隧谈的表面物理学家，由于家眷的前辈们在 50 岁时出现了渊博的虚弱乃至死亡，在其 50 多岁的时候，他也开始惦记我方的体格健康问题，并将其行为一个科常识题来探索。

一个人命体的寿命短长是由什么要素决定的呢？他开始查阅大宗的生物学文件，关联词这些文件都莫得办法直面修起他的问题。一次恐怕的契机，他遇到了生态学家 James Brown，James 告诉他，从生态学的角度来说，这一问题的谜底可能与"限制"关系。而后，二东谈主开展了长达十年的配合，最终确立了限制法例，并将这套表面应用于公司企业、城市筹划之中。

什么是限制法例呢？其英文为 Scaling，又译为限制缩放法例。东谈主类的大脑最民风于进行线性想考，自关联词然地以为一个十东谈主限制的企业扩大到百东谈主限制时，就能从赚一个亿到赚十个亿，而限制法例最为伏击的特质就在于强调变化的非线性。一个人命体从小变大，天然各个部位都会相应放大，关联词放大的比例却不尽一样。两个四点五寸的披萨和一个九寸的披萨面积并不等同，是因为当披萨的尺寸增多时，其面积的增长速率是平方级别的。

科幻片中身高两三层楼高的巨型怪兽哥斯拉在真实的物理全国中是不可能存在的，因为它的双腿无法撑合手起它的整个这个词体重。淌若把一个人命体综合成一个立方体，体积的增长呈三次方限定，而截面积的增长则呈二次方限定。截面积越大，承受力就越强。跟着生物体的增长，其体重的增长速率将远超承受力的增长速率。

限制法例也同样适用于大言语模子的发展。2020 年，商议就发现，跟着模子参数的扩大，一系列的性能宗旨都会出现不同比例的变化，代入公式就不错进行外推，东谈主工智能系统在改日能够达到什么样的水平。这亦然 Open AI 详情大模子的标的，并应用于科技创新的原因。

‍人命体中的限制法例

上百年来，科学家们对于复杂系统的商议变成了一定的科学范式。第谷进行了长达 20 年的天文不雅测，亲手在札记本上把不雅测的数据纪录下来，变成了相当稀有的手稿。在临终前，第谷把纪录了 20 年的数据手稿交给了开普勒，将行星运行背后的旨趣性问题留给了他治理。开普勒在进行了几年的商议之后，跳脱出行星沿圆形轨谈知道的看法，联接数据转头出了行星沿椭圆轨谈运行的限定，提议了知名的开普勒三大定律。牛顿应用他的第二知道定律和万有引力定律，在数学上严格地诠释注解了开普勒定律。

事实上，这三个东谈主就代表了天然科学发现的三个阶段。第谷代表的是第一阶段，即数据汇聚阶段。开普勒代表的是第二阶段，即唯象阶段，用一套数学旨趣去解释不雅测到的数据。比如开普勒三大定律就完整解释了第谷不雅测了 20 年得到的数据，揭示了太阳系中行星的运行限定，但局限在于其无法实践到别的星系。牛顿代表的是第三阶段，即旨趣阶段，代表着事物发展的底层限定，不错应用在更广的范围中。

限制法例处于第二阶段，反应生物系统中的限定的"克莱伯法例" F=cM^3/4 被我称为"生物界的开普勒定律"。从单细胞里面的线粒体到鲸鱼大象，克莱伯定律适用范围横跨了 20 个数目级。这条限定标明，生物体的代谢水平与体积大小之间具有正关系性。当一个生物体的体重增长了十倍，其代谢水平则以一个相对较慢的速率增长，简略在八至九倍。体重越大的物种，每个细胞的代谢水平就越低，才略欺诈率就越高。

由于代谢是生物体持续进行物资和能量交换的经过，因此和生物体的名义积关联较密。从几何的角度看，名义积和体积的 2/3 次幂成正比，关联词，代谢率与体重之间并非 2/3 次幂的关系，而是 3/4 次幂的关系。到底是那里出错了呢？商议发现，咱们的全国不单是停留在三维的层面，生物体的褶皱分形组成了一个四维的空间。咱们的大肠名义大宗的毛细血管汇聚，植物、动物和单细胞里面的细胞骨架，都组成了所谓的分形几何体，恰是这些分形几何体导致了四分之三幂律。

克莱伯定律就告诉咱们一个真理，不要盲目进行线性外推，而这是一个连顶尖科学家都会犯的诞妄。在上个世纪六十年代，科学家对一种名为 LSD 的毒品张开了大宗的实验商议，并测算出猫的安全剂量为 0.1 毫克每公斤，他们递次揣摸一个体重为 3000 公斤的大象的安全剂量为 300 毫克，并少打针了 3 毫克插足大象体内。收尾，实施打针 5 分钟之后，大象开始呐喊起来，轰然倒地，并插足合手续癫痫状态，在 1 小时 40 分钟之后便死亡了。

同样地，咱们平时吃药也要谨遵医嘱，弗成线性地外推。2 岁的小孩简略 12.5 公斤，服药的剂量为一包。7-8 岁的小孩体重是 2 岁小孩的两倍，关联词服药的剂量却小于两包。而医师给病患开药的时候，已经计划到了年事、体重等要素。

东谈主类怀胎十月生出宝宝，而小猫怀胎可能两三个月就能生下一胎。人命体的特征时候 T 与体重之间也有限定，为 1/4 次幂的关系。另外，生物体的特征频率 f，即心跳频率与体重也筹商系，为 -1/4 次幂的关系。把这两条限定联接在一皆，还有一个令东谈主畏怯的发现：当人命体的特征时候与特征频率相乘时，会得到 1.5*10^9 这个收尾。这就意味着，人命体一世的心跳次数是一个恒定的常数收尾。体紧要的人命体寿命较长，关联词频率就相应地变低了；体重小的人命体寿命较短，但却有较高的频次，冥冥之中自有定数。

从克莱伯定律和能量守恒等基本旨趣动身，不错推导出身物体从出身到死亡体重变化的经过，即滋长弧线。这如故过不错综合为一个水缸模子：生物体的体重就特别于水缸中的水量，体重的变化则不错视为水的注入和流出带来的收尾。代谢水平对应的是水的流入量，看护人命行径所需要的能量代表的是水的流出量。

生物的代谢与体重的 3/4 次幂成正比，因此呈波折格式。跟着体重的增多，代谢流量增长慢慢减缓。生物的感触成本与体重成正比，因此呈直线状态。跟着体重的增多，感触流量永久以固定速率增长。生物的滋长就发生在流入量高于流出量的时候。

这一滋长弧线的普适性进一步被考据：不同物种的滋长数据，都能在团结弧线上找到对应位置。限制法例在生物界的作用就肖似于开普勒定律在天体裁中的作用，能够有用形貌生物体布帛菽粟的实证数据。

‍企业中的限制法例

企业是经济系统的基本单位，限制法例是如安在企业中体现的呢？

限制法例不错用来分析企业销售额与职工数之间的关系。字据 2008 年好意思国 300 多家上市企业的数据变成了一张散点图，一个小点就代表一家企业，其中横坐标为企业职工数、纵坐标为企业销售额。通过线性拟合不错得到一个方程，这个方程中最关键的是 x 前的斜率 1.02，反应了企业限制与销售额之间的增长关系。这意味着好意思国上市企业的职工数目增多两倍时，其销售额大聚首增多两倍多少量，大公司与小公司的销售才略相反不太大。咱们字据 3000 多家中国企业的数据得出来了的斜率数值仅为 0.83，昭着小于 1。这意味着在中国，企业限制翻倍时，销售额增长不到两倍，大公司比小公司的东谈主均销售额低。方程的统共代表的是单东谈主的销售额，是一个企业唯有单一职工时的销售额。中国企业的限制法例统共大于好意思国，则意味着中国企业的单东谈主销售孝敬高于好意思国企业。

限制法例还不错揭示企业老化的闲散。咱们依然聘用的是企业销售额和职工数这两个宗旨，关联词录取的样本有所不同。咱们在 1950 年到 2023 年这长达 70 年的跨度内，录取了整个创业时候唯有一年的企业，对于这些初创企业而言，企业销售额和职工数之间的斜率提高到 1.07 了，具有更强的限制效应，限制延迟时销售额增长的速率更快。这也意味着，创业初期的企业增长后劲强大，能够已毕快速阻扰。

咱们还不错进一步商议不同庚事段的企业的施展，分析企业在 10 岁、20 岁、30 岁等不同庚事阶段的斜率变化。同期，咱们还不错检会销售成本、治理成本等各样宗旨，绘画出不同的增长弧线，这些线条的斜率变化就揭示了企业跟着时候推片晌的不同施展。跟着企业年事的增长，企业的研发成本和治理成本越来越高，带来强大的浮滥，导致企业的后果责备，呈现出典型的老化闲散。

限制法例还不错用来径直对企业进行评估。咱们索要了限制法例中一个叫作离差的宗旨，字据汇聚到的数据对企业进行融合的评估。在一个横坐标为总资产、纵坐标为总欠债的坐标系里，咱们不错看到 A、B、C 三家企业的全体资产限制和欠债限制。直不雅来看，C 企业的欠债最高，似乎是最不睬想的。关联词，单纯字据总欠债评估企业是不准确的，因为欠债高的企业频频资产限制也更大，尤其在中国，大企业频频更容易获取成本。为了愈加合理地评估企业，咱们引入了欠债率这一宗旨，斜率越高，欠债率越大，企业筹划情状就越不睬想。

咱们还提议了一个全新的宗旨，对于中国企业现实罢黜的限制法例而言，总欠债和总资产之间呈 1.09 次幂的关系，是一个幂指数大于 1 的非线性方程。欠债水温和资产限制的偏离程度径直影响对企业厉害的评估收尾。若企业处于弧线之上，则意味着欠债过高，施展较差；反之，若处于弧线之下，施展较好。

咱们不错欺诈限制法例差别联接欠债率、成本、利润等拟合出一条直线，并用离差，即企业偏离直线的距离来评估每家企业的筹划情状。对于如销售额和利润这么的正向宗旨，偏离弧线越大越好；对于如欠债这么的负向宗旨，则偏离弧线越小越好。欺诈这一创新宗旨，咱们对好意思国 300 多家上市公司和中国 3000 多家上市公司进行了数据分析，对离差宗旨与传统的比例宗旨进行对比，从而为企业评估提供了一种新的视角。

咱们进行了一项大限制的实验，对时候跨度长达 70 年的好意思国企业数据进行分析，通过欺诈离差宗旨评估企业的停业概率，来检修离差宗旨的掂量才略。实考据明，咱们的离差宗旨比原有的比例宗旨用来掂量企业的改日施展要愈加可靠和合理。

那么，企业的发展到底有莫得限定呢？淌若以时候为横坐标、总资产限制为纵坐标来不雅察北好意思企业的数据，这些小点呈现出的似乎是无尽定的险阻升沉和波动，关联词淌若你仔细地不雅察就会发现，这些小点变成的弧线施展出了舒缓的增长趋势，赶巧与好意思国 2～3% 的 GDP 增长率相吻合。

关联词，这只是名义闲散，竟然的限定蕴涵在不同视角下对数据的零碎处理。当咱们改变视角，将横坐标录取为总资产，整个的数据点呈现出热烈的执法性，变成了一条险些完整的直线。之前咱们提到生物体代谢率和体重之间存在着结实的关系，企业的净收入和总资产的斜率为 0.85，展现了肖似于生物体中的克莱伯定律。

基于这个定律，咱们不错推导出企业周期、知道频率等一系列要素与企业限制之间的关系。跟着企业限制扩大，资金的盘活频率和东谈主员盘活频率会责备。企业的寿命越长，平均而言，职工在企业中停留的时候就会越长。

在企业中的水缸模子里，流入水缸的部分有两个面容，一是净收入，二是贷款，流出水缸的部分是企业发展所需的各样成本，组成了企业的财务均衡方程。财务均衡方程和限制法例这两个第一性旨趣联接在一皆，就推导出来企业滋长方程。咱们不错看到对于好意思国大多数的传统企业，如好意思味可乐，其增长弧线与这个坐褥方程能够很好地吻合，关联词企业毕竟不是生物体，其成长受商场拘谨和个性化要素的影响，像苹果这么的高技术公司，频频就因被投资者看好、取得大宗资金支合手，而偏离平时的增长轨迹，增长速率昭着高于商场平均水平。

在中国，也有百分之六七十的企业的增长弧线是与这个方程相吻合的。中国和好意思国的企业增长弧线之间存在着一个强大相反：好意思国企业的增长弧线趋于沉静，而中国企业的增长弧线在高涨之后会有微微跳起的趋势。这一相反的原因在于中国企业的假贷模式，中国企业总债务与总资产的斜率是 1.09，且公司越大，欠债率越高。在好意思国则不会有这种闲散，大小公司的欠债率都差未几。

‍城市中的限制法例

为什么咱们要眷注城市？人人卓绝 50% 的东谈主口都已经居住在城市之中了，城市化进过活益加速，绝顶是中国，许多小县城已经改革为初具限制的微型城市。跟着城市化水平的提高，城市的发展也慢慢展现出两面性，一方面是城市的光辉和荣华，另一方面则是环境混浊等负面要素。限制法例就不错匡助咱们去研判在城市的发展经过中，其钞票水平、科技创新等方面会发生何种变化。

当咱们去看张家口、石家庄、北京这三座城市，是否不错说北京即是一个放大的张家口或者扩大的石家庄呢？这是咱们想考限制法例的起点。以 500 多个好意思国城市的实证数据为基础，咱们将城市总东谈主口作为限制宗旨，分析城市 GDP 的变化。数据泄露，城市限制与 GDP 成正关系关系。城市每扩大 1 倍，GDP 会扩大 1.13 倍。这即是咫尺许多年青东谈主开心留在大城市的原因，因为跟着城市限制的扩大，东谈主均 GDP 在上升，尽管大城市同期也伴跟着坐法率、疾病风险较高的问题。

限制法例涵盖了繁密宗旨，且在不同国度的城市中都呈现出肖似的限定。城市不仅是东谈主口的纠合地，亦然基础范例的载体。以好意思国城市为例，其谈路总面积与城市限制的 0.85 次幂成正比，这成绩于大限制城市的高联动性，分享谈路面积大，因此对于谈路面积的增速莫得较高的需求。

限制法例中的方程指数不错分为三类：大于 1、等于 1 和小于 1。指数大于 1 的常常是与东谈主类交互密切的宗旨，如 GDP、科技创新、专利数目、坐法率等等。这意味着城市越大，东谈主均的积极性越高、专利数越多、坐法率越高。指数小于 1 的则是与各样基础范例关系的宗旨，如加油站数目、城市管谈长度等等。这意味着跟着城市限制扩大，东谈主均基础范例的数目慢慢减少。指数等于 1 的是与东谈主口数关系的宗旨，如平均用电量等。

咱们提议了一个模子去解释为什么城市中等闲存在限制法例，起点是东谈主是城市的主体。城市中的东谈主口不是固定的，除了休眠的时候，绝大部分时候都在流动。因此，咱们提议了"活跃东谈主口"的见解，代表着城市中流动的东谈主群，日间可能体现为使命主谈主口，夜晚则滚动为居住东谈主口，将二者平均夹杂即可得到相应的活跃东谈主口。

咱们将活跃东谈主口作为建模的基本单位，罢黜匹配滋长的原则。一个城市可能发源于一个小渔村、小社区，自后会持续有代表活跃东谈主口的节点，即活跃社区加入，新加入的节点唯有在与现存节点实足围聚的时候，才会被以为是有用的加入。有用加入的节点能力够滋长，变成中间密集、双方疏淡的东谈主口分散模式，这与真实的城市数据相当吻合。

城市不仅要纠合东谈主口，还需要变成创新的力量。那么，创新从何而来？创新并非是刻意需要伟大的发明抑或表面，从大法式看，它和随即的化学反应肖似，是东谈主和东谈主之间想维的随即碰撞。整个创新和钞票创造的根源都在于东谈主和东谈主之间的互动。许多城市中的咖啡屋、车库空间，即是为东谈主们提供了交互的空间，从而催生科技创新，变成钞票。

东谈主口不是零丁存在的，而是彼此之间变成交互，从而组成一个浮浅的汇聚。随即变成的交互汇聚，与节点数成二次幂的关系，但这一交互汇聚并莫得计划到东谈主与东谈主之间交互的成本。在现实生存中，东谈主们的交互会受到物理距离的收尾，绝顶是在莫适宜代化高速公路的当年，东谈主们的行径范围相当局限。

在当代化的城市里，咱们的交互模式光显不是随即的，但也不像网格般规整，高速公路的得意建树使咱们的外交织聚得以跨越空间。咱们假定整个的东谈主类交互变成的创新和钞票创造都沿着路网进行，这诠释谈路路网与经济行径之间有着相当密切的筹商，路网组成了咱们东谈主类经济行径的界面。

东谈主类行径的节拍与城市限制也筹商系。商议发现，城市限制越大，东谈主们的步调会越快。在北京、上海这么的大城市，上班岑岭期地铁里拥堵不胜，东谈主们都行色匆忙，慌里心焦。在伦敦，还会有特意的快速通谈，让东谈主们得以快速通过。同样地，城市限制越大，手机的使用频率越高，东谈主们的调换强度越高。大城市迫使东谈主类生存节拍加速，变得越来越极重，这亦然限制法例的推演和体现。

刺猬是我绝顶心爱的一个摇滚乐队，他有一句歌词叫"社会是伤害的比赛"，我深有体会。当东谈主和东谈主之间变成互动时，除了会带来创新想法和钞票来源，还会带来矛盾和摩擦。因为东谈主际关系的发展背后是熵的产生，城市发展到一定程度，一定会将这些产生的放胆物排出去，在数据上即体现为二氧化碳的排放会跟着城市限制的扩大而增多。

与生物体和企业一样，咱们也不错为城市建构出一个水缸模子，方程指数为 1.15。但与其它二者不同的是，基于开动条目和参数建树的不同，城市增长存在着两种可能性：一是已毕超速率增长，在有限时候内变成东谈主口的超大限制爆发；二是伴跟着东谈主口增长产生的大宗垃圾无法消化，基础范例建树跟不上需求，整个这个词城市碰到发展瓶颈，乃至透澈坍弛。

为了调度这两种可能性，商议者又推导出来一个海潮式的城市增长限定。东谈主类历史上繁密城市曾面对败北，但科技翻新的出现胁制了这一趋势。换句话说，创新不是原因，而是收尾。城市发展的一角在坍弛，于是东谈主们不得不寻求新的阻扰。科技创新就会改变城市发展的方程统共，提高东谈主们的幸福感，使得城市发展迈入了新的轨迹。

周期性的崩溃和重建并非无序，而是罢黜着一定的定量限定。科技迭代的周期越来越短，从最初的上百年裁汰至几十年，再到咫尺只需要几年。用跑步机来作念譬如，东谈主们不仅是在跑步机上奔波，况且还会不休地跳到更快速的跑步机上奔波。当咱们玩命地加速，不休地切换到更快速的跑步机上，就会面对一个不可遮掩的问题：最终那里是极端？

科技起先的持续加速是在接近东谈主类历史中的技艺奇点，一朝到达奇点，超等东谈主工智能和环境崩溃可能同期发生。问题的根源就在于咱们刚才所说的，交互是一个伤害，一切互动都伴跟着熵增多。老子在《谈德经》中所描绘的梦想国，"邻国相望，鸡犬之声相闻，民至老死不相闻问"，似乎是透露咱们罢手或减少东谈主类间的交互，但这并不虞味着咱们要了债原始的生存模式，东谈主类无法一直停滞不前。

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